Metalogic , biçimsel dillerin ve biçimsel sistemlerin anlambiliminin (ifadeler ve anlamlar arasındaki ilişkiler) ve sözdiziminin (ifadeler arasındaki ilişkiler) incelenmesi ve analizi. Doğal dillerin biçimsel muamelesiyle ilgilidir, ancak içermez. (Doğal dillerin sözdizimi ve anlambilimiyle ilgili bir tartışma için, bkz. Dilbilim ve anlambilim.)
Metalojinin doğası, kökenleri ve etkileri
Sözdizimi ve anlambilim
Biçimsel bir dil genellikle bir dizi oluşum kuralı gerektirir - yani, bir makinenin bir adayı kontrol edip edemeyeceği anlamında, mekanik olarak uygulanabilir, iyi biçimlendirilmiş formüller (cümleler veya anlamlı ifadeler) olarak sayılacak olan ifade türlerinin eksiksiz bir belirtimi gereksinimleri karşılar. Bu belirtim genellikle üç bölümden oluşur: (1) mekanik olarak verilen ilkel sembollerin (temel birimler) bir listesi, (2) basit (atomik) cümleleri oluştururken mekanik olarak ayrılmış bu sembollerin belirli kombinasyonları ve (3) bir dizi tümevarımlı cümlecikler - verilen cümlelerin doğal kombinasyonlarının "∨" sembolize edilen "veya" ayrımı gibi mantıksal bağlaçlar tarafından oluşturulduğunu öngördükleri ölçüde tümevarımlı; "Değil", "∼" sembolize edildi; ve "(∀)" sembolize edilen "herkes için" yine cümlelerdir. [“(∀)” nicelik belirteci olarak adlandırılır,"(∃)" ile sembolize edilen "bazıları" olduğu gibi.] Bu özellikler, anlamlarla değil, yalnızca semboller ve bunların kombinasyonları ile ilgili olduğundan, sadece dilin sözdizimini içerirler.
Biçimsel bir dilin yorumlanması, dilin atomik cümlelerinin bir nesneler alanına ilişkin bir yorumunun formüle edilmesiyle belirlenir - yani, alanın hangi nesnelerinin dilin hangi sabitleri ile belirtildiğini ve hangi ilişkilerin ve işlevlerin olduğunu belirleyerek hangi yüklem harfleri ve işlev sembolleri ile gösterilir. Böylece her cümlenin doğruluk değeri ("doğru" veya "yanlış") mantıksal bağlaçların standart yorumuna göre belirlenir. Örneğin, p · q , ancak ve ancak p ve qDoğrudur. (Burada nokta, çarpma işlemi "zamanlar" değil "ve" birleşimi anlamına gelir.) Böylece, biçimsel bir dilin herhangi bir yorumu verildiğinde, biçimsel bir doğruluk kavramı elde edilir. Gerçek, anlam ve ifade anlamsal kavramlardır.
Buna ek olarak, biçimsel bir dilde biçimsel bir sistem tanıtılırsa, belirli sözdizimsel kavramlar ortaya çıkar - yani aksiyomlar, çıkarım kuralları ve teoremler. Belli cümleler aksiyom olarak seçilmiştir. Bunlar (temel) teoremlerdir. Her bir çıkarım kuralı, belirli cümlelerin teorem olması durumunda, onlarla uygun bir şekilde ilişkili başka bir cümlenin de bir teorem olduğunu belirten tümevarımlı bir cümledir. Örneğin, p ve “değil- p veya q ” (∼ p ∨ q ) teoremlerse, q bir teoremdir. Genel olarak, bir teorem ya bir aksiyomdur ya da öncülleri teorem olan bir çıkarım kuralının sonucudur.
1931'de Kurt Gödel, ilginç (veya önemli) biçimsel sistemlerin çoğunda, tüm gerçek cümlelerin teorem olmadığına dair temel keşfi yaptı. Bu bulgudan, anlambilimin sözdizimine indirgenemeyeceği sonucu çıkar; bu nedenle, ispat teorisi ile yakından ilgili olan sözdizimi, genellikle model teorisi ile yakından ilgili olan anlambilimden ayırt edilmelidir. Kabaca konuşursak, sözdizimi - matematik felsefesinde tasarlandığı gibi - sayı teorisinin bir dalıdır ve anlambilim, kümelerin doğası ve ilişkileri ile ilgilenen bir küme teorisi dalıdır.
Tarihsel olarak, mantık ve aksiyomatik sistemler gittikçe daha kesin hale geldikçe, daha fazla netlik arzusuna yanıt olarak, yalnızca sezgisel anlamlara odaklanmak yerine, kullanılan dillerin sözdizimsel özelliklerine daha fazla dikkat etme eğilimi ortaya çıktı. Bu şekilde mantık, aksiyomatik yöntem (geometride kullanılanlar gibi) ve semiyotik (genel işaret bilimi) metalojiye doğru birleşti.
Aksiyomatik yöntem
En iyi bilinen aksiyomatik sistem, geometri için Öklid sistemidir. Öklid'inkine benzer bir şekilde, her bilimsel teori, bir dizi anlamlı kavram ve gerçek veya inanılan iddiaların bir koleksiyonunu içerir. Bir kavramın anlamı genellikle diğer kavramlar açısından açıklanabilir veya tanımlanabilir ve benzer şekilde, bir iddianın doğruluğu veya ona inanma nedeni, genellikle, daha önce kabul edilmiş diğer bazı iddialardan çıkarılabileceği belirtilerek açıklanabilir. Aksiyomatik yöntem, bir dizi ilkel kavram ve önermeyle başlayıp ardından teorideki diğer tüm kavram ve önermeleri onlardan tanımlayarak veya çıkararak bir dizi adımda ilerler.
19. yüzyılda ortaya çıkan farklı olası geometriler olduğunun anlaşılması, soyut matematiği uzamsal sezgiden ayırma arzusuna yol açtı; Sonuç olarak, Öklid'in geometrisinde birçok gizli aksiyom ortaya çıkarıldı. Bu keşifler, David Hilbert tarafından Grundlagen der Geometrie (1899; The Foundations of Geometry ) adlı eserinde daha sıkı bir aksiyomatik sistem halinde organize edildi . Bununla birlikte, bu ve ilgili sistemlerde, mantıksal bağlaçlar ve bunların özellikleri, hafife alınır ve örtük kalır. İlgili mantık, yüklem hesaplamasınınki olarak alınırsa, mantıkçı daha sonra yukarıda tartışılan gibi biçimsel sistemlere ulaşabilir.
Bu tür biçimsel sistemler elde edildikten sonra, belirli anlamsal problemleri daha keskin sözdizimsel problemlere dönüştürmek mümkündür. Örneğin, Öklid dışı geometrilerin kendi kendine tutarlı sistemler olması gerektiği ileri sürülmüştür, çünkü Öklid geometrisinde modelleri (veya yorumları) vardır ve bu da gerçek sayılar teorisinde bir modele sahiptir. Daha sonra, gerçek sayılar teorisinin, içinde hiçbir çelişkinin türetilememesi anlamında tutarlı olduğunun nasıl bilindiği sorulabilir. Açıktır ki, modelleme yalnızca göreli bir tutarlılık sağlayabilir ve bir yerde durması gerekir. Biçimsel bir sisteme ulaştıktan sonra (örneğin, gerçek sayılar), tutarlılık problemi daha sonra sözdizimsel bir problemin daha keskin odağına sahiptir:olası tüm ispatları (sözdizimsel nesneler olarak) dikkate almak ve bunlardan herhangi birinin son cümle olarak 0 = 1 olup olmadığını sormak.
Başka bir örnek olarak, bir sistemin kategorik olup olmadığı, yani, herhangi iki yorumun izomorfik olduğu anlamında esasen benzersiz bir yorumu belirleyip belirleyemediği sorusu araştırılabilir. Bu anlamsal soru bir dereceye kadar ilgili bir sözdizimsel soru ile değiştirilebilir: tamlık sorusu: sistemde amaçlanan yorumda kesin bir doğruluk değerine sahip herhangi bir cümlenin bulunup bulunmadığı, öyle ki ne cümle ne de onun olumsuzlaması bir teorem değildir. Anlambilimsel ve sözdizimsel kavramların farklı olduğu artık bilinmesine rağmen, bir sistemin “yeterli” olması şeklindeki belirsiz gereklilik, her iki kavramla da açıklığa kavuşturulmuştur. Hilbert tarafından vurgulanan, tutarlılık ve bütünlük gibi keskin sözdizimsel soruların incelenmesi, onun tarafından yaklaşık 1920'de "metamatematik" (veya "ispat teorisi") olarak adlandırıldı.
