Pisagor'u hemen takip eden geometriler (yaklaşık 580 – c. 500 bc), herhangi iki uzunluğun, bazı ortak birimlerin tam sayı katları ile "ölçülebilir" (yani ölçülebilir) olduğu sezgisini paylaştılar. Başka bir deyişle, tüm (veya sayma) sayıların ve oranlarının (rasyonel sayılar veya kesirler) herhangi bir miktarı tanımlamak için yeterli olduğuna inanıyorlardı. Bu nedenle geometri, en önemli ilkesinin gerçekliğin esasen matematiksel olduğu ve tam sayılara dayandığı Pisagor inancıyla kolayca birleşti. Özel alaka düzeyi, ilk başta aritmetik tarafından onaylanan kurallara uygun olarak gerçekleşen oranların manipülasyonuydu. Surların keşfi (kare olmayan sayıların kare kökleri) bu nedenle Pisagorcuların altını oydu: artık a : b =c : d (burada a ve b nispeten asaldır) a = n c veya b = n d anlamına gelir , burada n bir tam sayıdır. Efsaneye göre, artık irrasyonel sayılar olarak bilinen, ölçülemez miktarları keşfeden Pisagor kardeşleri tarafından öldürüldü. Ama bilimde sır saklamak zor.
Eski Yunanlıların cebir veya Hindu-Arap rakamları yoktu. Yunan geometrisi neredeyse tamamen soyut diyagramları içeren mantıksal akıl yürütmeye dayanıyordu. Öyleyse ölçülemeyenlerin keşfi, Pisagor dünya kavramını rahatsız etmekten daha fazlasını yaptı; matematiksel muhakemede bir çıkmaza yol açtı - Platon'un zamanının geometri uzmanları ölçülemezlikten sorumlu olan bir oran (oran) tanımı sunana kadar devam eden bir çıkmaz. İlgili başlıca matematikçiler, Platon'un bütün bir diyaloğu adadığı Atina Theaetetus (MÖ 417-369) ve ölçülemezlere muamelesi Kitap V olarak hayatta kalan büyük Cnidus Eudoxus'uydu (c. Öklid Unsurları .
Öklid şu basit kanıtı verdi. Pisagor teoremine göre kenar uzunluğu 1 birim olan bir kare, d 2 = 12 + 12 = 2 denklemini karşılayan bir diyagonal d'ye sahip olmalıdır. Pisagor beklentisine göre, köşegen olabileceği varsayılsın. p ve q gibi iki tamsayının oranı olarak ifade edilir ve p ve q nispeten asaldır, p > q ile ifade edilir - başka bir deyişle, oranın en basit şekline indirgenmiş olduğu anlamına gelir. Böylece p 2 / q 2 = 2. Sonra p 2 = 2 q 2, yani pçift sayı olmalıdır, örneğin 2 r . Son denkleme p için 2 r ekleyerek ve basitleştirerek, q 2 = 2 r 2 elde ederiz , bu nedenle q da çift olmalıdır, bu da p ve q'nun birlikten başka ortak faktörü olmadığı varsayımıyla çelişir . Dolayısıyla, Yunan terminolojisine göre hiçbir tam sayı oranı - yani hiçbir "rasyonel sayı", 2'nin karekökünü ifade edemez. Üzerinde oluşturulan kareler kare sayılara eşit olmayacak şekilde uzunluklar (örneğin, √ 2'nin karekökü , √ 3'ün karekökü, √ 5'in karekökü, √ 6'nın karekökü,…) "irrasyonel sayılar" olarak adlandırıldı.
